Tam giác có độ dài 3 cạnh a,b,c và các góc đối diện các cạnh lần lượt là A,B,C

Trong các công thức dưới đây, A, B, C là các góc của tam giác và a, b, c là chiều dài các cạnh đối diện với các góc tương ứng (xem hình vẽ).

Định lý Sin

Định lý sin đối với một tam giác bất kỳ:

a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}

với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

R = a b c ( a + b + c ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) ( b + c − a ) . {\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}

Một định lý khác liên quan đến hàm sin có thể dùng để tính toán diện tích tam giác. Cho chiều dài hai cạnh a và b và góc giữa hai cạnh là C, diện tích của tam giác được tính như sau:

Area = 1 2 a b sin ⁡ C . {\displaystyle {\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}ab\sin C.} Tất cả các hàm lượng giác của góc θ có thể được dựng trong một đường tròn tâm O.

Định lý Cosin

Định lý cos hay định lý cosin là một dạng mở rộng của định lý Pytago cho một tam giác bất kỳ:

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}

hoặc:

cos ⁡ C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b . {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}

Định lý cosin có thể được dùng để chứng minh công thức tính diện tích của Heron. Một tam giác bất kỳ có chiều dài các cạnh là a, b, và c, và nếu nửa chu vi là

p = 1 2 ( a + b + c ) , {\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c),}

thì diện tích của tam giác được tính như sau:

S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) . {\displaystyle {\mbox{S}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}

Định lý tang

Định lý tang:

a − b a + b = tan ⁡ A − B 2 tan ⁡ A + B 2 {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {A-B}{2}}}{\tan {\tfrac {A+B}{2}}}}}

Công thức Euler

Công thức Euler, e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} , có thể được biểu diễn theo các hàm sin, cos, và tang theo số e và đơn vị ảo i như sau:

sin ⁡ x = e i x − e − i x 2 i , cos ⁡ x = e i x + e − i x 2 , tan ⁡ x = i ( e − i x − e i x ) e i x + e − i x . {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}